Modelando fenómenos de evolución 2008 |   |
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IntroducciónLa modelación matemática de fenómenos que varían con el tiempo y cuyo estado evoluciona, brinda un campo extremadamente rico para comprender la riqueza y profundidad de la matemática. La naturaleza de los efectos temporales es tan fuerte en nuestras vidas y su experiencia es tan profunda que todos tenemos una gran sensibilidad por todo lo que signifique su modelación. El profesor de matemática puede maravillarse en su vida de estudiante con los modelos y problemas que se presentan en este campo. De igual manera, en su vida de profesor, podrá encantar a sus estudiantes con modelos más sencillos, pero que todavía guardan la riqueza de los ejemplos más complejos. El objetivo de este curso es ofrecer un panorama de modelos matemáticos actualmente utilizados en diferentes disciplinas que tratan con fenómenos de evolución. En este contexto, abordaremos problemas de evolución a tiempo discreto y continuo los que serán motivados con diversos ejemplos acompañados de su deducción y discusión. En una primera parte estudiaremos fenómenos a tiempo discreto y sus aplicaciones a la dinámica de poblaciones. El problema del comportamiento de largo plazo de estos sistemas se abordará usando el álgebra lineal para describir la estabilidad de estos sistemas. Proseguiremos, en una segunda instancia, considerando fenómenos de evolución a tiempo continuo aprovechando las herramientas del cálculo diferencial. Mediante algunos elementos de ecuaciones diferenciales se estudiarán ejemplos en dinámica de poblaciones y economía . En la tercera parte del curso se entregarán conceptos y elementos básicos de la teoría de control de sistemas que varían con el tiempo (sistemas dinámicos), ilustrando, a través de modelos sencillos, algunas de las técnicas de la programación dinámica discreta analizando diversos modelos motivados por la gestión de recursos naturales. Finalmente, se expondrán fenómenos que se pueden modelar mediante cadenas de Markov tendiendo un puente con las probabilidades. A través de ejemplos, se analizará el comportamiento asintótico de estos sistemas con énfasis en el modelamiento. Mediante el tratamiento de todos estos temas, pretendemos introducir al estudiante en el modelamiento matemático y motivarlo a abordar dichas temáticas en su futura labor de profesor. Antes de hacer matemática, intentaremos deducir algunos modelos tarea que generalmente no es fácil de realizar. El curso será basado en la monografía Modelando fenómenos de evolución realizada por Pedro Gajardo en el contexto del Proyecto FONDEF D05I-10211 Herramientas para la formación de profesores. A cada estudiante inscrito se le entregará una copia del texto. Si bien los conocimientos requeridos para un aprovechamiento cabal del curso son: cálculo en una variable (continuidad, límite, derivada, integral, Teorema del valor medio), cálculo en varias variables (continuidad, derivadas parciales, matriz Jacobiana, integral en varias variables), álgebra lineal (cálculo de valores y vectores propios) y nociones básicas de probabilidades, este se realizará de manera auto-contenida con un nivel de profundidad acorde a las asignaturas ya cursadas por los inscritos. Programa
TOTAL: 24 clases de cátedraEvaluacionesLas evaluaciones consistirán de dos pruebas y un trabajo grupal. El curso se aprueba con nota superior o igual a 4.0
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Última actualización: 5 de diciembre 2008 |